Los concursos televisivos tiene un gran auge en nuestro país y en todo el mundo. Algunos apelan al conocimiento del concursante y otros tantos a la suerte (Algunos reality shows apelan a la ignorancia de sus participantes, pero estos no son de nuestro interés). ¿Tener un claro concepto de la probabilidad puede servir para ganar? A continuación se muestra un ejemplo que parece probarlo.En este conocido juego hay tres cajas: A, B y C. Una contiene un premio sustancial y las otras dos, nada o nada importante. El objetivo del concursante de las “catafixias” es adivinar qué caja contiene el premio. Chabelo sabe en qué caja se encuentra. Después de algunas escaramuzas, la concursante María, escoge una caja, por ejemplo
la B.
Sea cual sea la caja seleccionada, por lo menos una de las restantes está vacía. Chabelo abre una caja vacía e invita a María a cambiar de opinión. Casi inevitablemente, María declina la invitación. Sabe que Chabelo siempre puede abrir una caja vacía y considera que cambiar de opinión no supone ninguna mejora. Se equivoca. Siempre que Chabelo intente tentarla mostrando una caja vacía, como parece ser en este caso, María dobla su probabilidad de ganar al cambiar de opinión.

Mucha gente no comparte esta afirmación. Sin embargo, es cierta: La parte sencilla es considerar qué ocurre si María mantiene su primera decisión. Como escoge al azar entre tres cajas, la probabilidad de acertar es de uno entre tres.En dos de cada tres ocasiones, la caja escogida por María estará vacía, pero ella no lo sabe. En ese caso, Chabelo se enfrenta a un problema. De las dos cajas restantes, una contiene el premio y la otra no. No tendría sentido que Chabelo abriese la caja con el premio. Tiene que abrir la caja vacía, de manera que cuando María cambie de opinión, ésta acertará inevitablemente. Aunque María se equivoque en su elección inicial, dos de cada tres veces, su elección final será la correcta y su probabilidad de ganar pasará de uno a dos tercios.

El análisis no sólo es válido, sino de una simplicidad asombrosa.

Ahora que México juegue los cuartos de final del mundial sub 20 de futbol, siéntese en su sillón preferido, disfrute de su botana favorita, tómese una cerveza y acérquese su libro de estadística. Sí, en efecto, un sencillo modelo de probabilidad puede resultar impresionantemente útil para pronosticar resultados en este apasionante deporte:  Una característica del fútbol es que no abundan los goles. Incluso los mejores equipos no marcan siquiera, en promedio, dos goles en un partido.

El modelo más sencillo y acertado del número de goles marcados en un partido se basa en que éstos pueden lograrse en cualquier instante, básicamente al azar, y con una media que depende del equipo, del contrincante y de si se juega o no en casa. Si éste es un modelo razonable, entonces el número de goles marcados por un equipo en un partido, está dado por una distribución de probabilidad de Poisson con una media adecuada.  Para ilustrar el modelo, la tabla siguiente muestra la frecuencia (de Poisson) con la que un equipo marca goles en un partido:

Por ejemplo, un equipo que promedia 0.8 goles por partido, tiene una probabilidad de 45% de no anotar gol en su próximo encuentro, 36% de anotar un gol y así sucesivamente. 
Estas frecuencias pueden servir también para estimar la probabilidad de que gane uno u otro equipo.

Consideremos un partido en el que el equipo de casa tiene una media de 1.6 goles mientras que la del equipo visitante es de 1.2 goles. Suponiendo que los números de goles marcados por cada equipo son independientes entre sí, es fácil calcular la probabilidad de que el juego finalice con un resultado determinado. Por ejemplo, de la tabla se deduce que la probabilidad de que el partido termine 0-0 es 6% (20% x 30%). 
Análogamente, la probabilidad de que el marcador sea de 1-1 es de 11.5% (32% x 36%). Considerando todas las situaciones de empate, se obtiene que la probabilidad de que el partido finalice con un empate es de 25% (6% + 11.5% + 5.72% + 1.26% + 0.24%)

El primer gol 
¿Cuál es la probabilidad de que gane un equipo, si ha sido el primero en marcar? En un partido donde los contendientes están muy equilibrados, si sólo se consigue un gol, está claro que el equipo que ha marcado primero es el ganador. Fijémonos, por tanto, en los partidos en los que se marcan dos goles. Después del primer gol, cualquier equipo tiene la probabilidad de marcar el segundo gol. Así, la mitad de las veces se producirá un empate a uno y la otra mitad ganará por 2-0 el equipo que ha marcado el primer gol. En los partidos con tres goles no es posible el empate. La única manera en que puede perder el equipo que ha sido el primero en marcar consiste en que el contrario marque dos goles. Como cada equipo tiene una probabilidad de un medio de marcar un gol, la probabilidad de que el equipo contrario marque los dos goles es de un cuarto (50% x 50%). Así, en estos partidos, el equipo que marca el primer gol pierde el 25% de las veces y gana el 75% de las ocasiones. 
Antes de juntar todos los resultados, haremos un último cálculo referido a los partidos con cuatro goles. Designaremos con la letra P los goles del equipo que ha marcado el primer gol y con O los marcados por el otro equipo. Después del gol inicial, los tres goles restantes pueden marcarse de las siguientes formas, todas igualmente probables: PPP PPO POP OPP POO OPO OOP OOO. 
Las cuatro primeras suponen la victoria del equipo que ha marcado primer lugar, las tres siguientes un empate y sólo en el último caso gana el otro equipo. Las probabilidades respectivas son: un medio, tres octavos y un octavo.

Bender, el robot protagonista de la serie animada “Futurama�? vive en el número 00100100 de un condominio de 256 viviendas numeradas desde el 00000000 hasta el 11111111. Se invita al lector a determinar, en base 10, en que vivienda habita el curioso personaje.
Más allá de la posibilidad de interpretar las curiosidades de la famosa serie norteamericana, la importancia de la base 2 radica en que es el lenguaje de las computadoras. En efecto, los ordenadores o pc´s son un conjunto de circuitos que no saben nada acerca de letras, guarismos, instrucciones o programas. Lo que si saben es si están encendidos o no y, con valores de 1 y 0, se puede representar esta verdad fundamental de todo circuito: prendido=1, apagado=0. Sin medias tintas.
Las primeras computadoras operaban con 8 bits a la vez. Con 8 bits o dígitos binarios se pueden representar hasta 256 valores diferentes ¿Por qué? Examine las posiciones:
Posición: Grupos de:
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 32
7 64
8 128
Si las 8 posiciones se establecen en 1, el valor obtenido es 255 ( 1×128 + 1×64 + 1×32 + 1×16 + 1×8 + 1×4 + 1×2+ 1×1 = 255). Si, por el contrario, todas son ceros, el valor es cero. De 0 a 255 hay 256 estados posibles.
Al conjunto de 8 bits se le llama byte y un nibble es la mitad de un byte (4 bits).
Las computadoras utilizan pues, patrones con valores de 1 y 0 para codificar cualquier cosa. Las instrucciones de máquina están codificadas en esta forma y son interpretadas por los circuitos. Algunas veces los números son instrucciones, algunas son valores y otras códigos. Un código estandar muy importante es el ASCII, en él cada letra o símbolo tiene una representación binaria de 8 dígitos. Por ejemplo, la letra “a�? minúscula está representada por 01100001. Éste no es un número, aunque puede convertirse en uno: 97 (64 + 32+ 1). Es por eso que suele decirse que la letra “a�? está representada por 97 en clave ASCII (cuando usted teclea alt + 97); pero en realidad la representación binaria descrita es la codificación de la letra “a�?, asociarlo al valor decimal 97 es una convención humana.
Por cierto, Bender vive en el departamento número 36 (en decimal), que equivale al símbolo del dólar americano en código ASCII.

En un capítulo de la serie de dibujos animados “Futurama�? aparece en el espejo de una vieja casona una visión espectral: 1010011010.

¿Por qué Bender se asusta ante la extraña visión? Porque conoce perfectamente el significado de los números binarios.

Cuando usted observa el número 145, automáticamente y, sin reflexionar mucho, en lo que piensa es en “ciento cuarenta y cinco�?. Para comprender los números binarios es necesario examinar de nuevo el 145 y verlo, no como un número, sino como un código para un número.

Analice la relación que existe entre, por ejemplo, el número tres y “3�?. El guarismo 3 es un trazo en un pedazo de papel; el número tres es una idea. El guarismo se utiliza para representar la idea.

En operaciones matemáticas de base 10 (decimal) se utilizan los guarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 para representar todos los números ¿Cómo se representa el número 10?. Los griegos utilizaron X. El sistema arábigo, que es el que empleamos, se vale tanto de la posición como de los guarismos para representar los valores: el primer guarismo (de derecha a izquierda) se usa para las unidades, el siguiente para las decenas (grupos de diez) y el tercero para las centenas (grupos de 100). Así, el número quince se presenta con 15 (léalo como “uno�?, “cinco�?); esto es, 1 decena y 5 unidades sueltas (10+5=15).

Si cambiamos de base, y pensamos en escribir, por ejemplo, en base 7, la lógica es la misma (aunque ahora sólo tenemos seis guarismos disponibles): en la primera posición van las unidades; en la segunda, grupos de 7 (así como en decimal son grupos de 10) y en la tercera posición grupos de 49 (así como en decimal son grupos de 100). Así, quince en base 7 se escribe: 21₇ (dos grupos de 7 en la segunda posición y una unidad suelta en la primera,14+1=15). ¿Y en base 8? 17₈ (1 grupo de ocho y siete unidades sueltas, 8+7=15).  

La base 2 es la consolidación de esta idea. Existen únicamente dos guarismos: 1 y 0. El número quince en base dos o binario se escribe: 1111₂, en virtud de que se requiere: un grupo de 8, uno de 4, otro de 2 y una unidad suelta (8+4+2+1=15). La agrupación en base 2 es pues, como sigue:

Y tú, ¿ya te viste? Así reza la voz en off del comercial de televisión donde un esperanzado jugador de “Melate�? acaba de hacer su apuesta y sueña con hacerse millonario. Si además de la suerte y las corazonadas, se da por sentado que el “Melate�? es un juego azaroso regido por las reglas de la estadística, quizás la pregunta que habría que hacer sería: y tú ¿ya calculaste la probabilidad de ganar?

En 1984, 6 años después de su fundación, Pronósticos para la asistencia pública lanzó al mercado su popular sorteo numérico. Actualmente el juego tiene un formato similar al de cualquier otro país: para jugar hay que comprar una planilla y seleccionar 6 números distintos del 1 al 51. Una máquina selecciona de una urna 7 esferas con diferente numeración (seis números designados “naturales�? y uno denominado “adicional�?) y, para que el concursante sea acreedor a un premio, por lo menos habrá de elegir tres de los pertenecientes a la primera categoría, mismos que deben coincidir con los de la máquina.

Mientras más aciertos haya, mayor será la cuantía del premio. El “premio gordo�?, se obtiene si los 6 números naturales elegidos concuerdan con los extraídos de la urna. ¿Qué probabilidades hay de ganar? En primer lugar, se ha de asumir que la selección de las esferas es completamente aleatoria y que, como consecuencia, cualquier combinación de 6 números tiene la misma probabilidad de ocurrir (lo mismo el conjunto {1,2,3,4,5,6} que el {5,7,12,24,33,40}). Si se acepta lo anterior, entonces lo que hay que hacer es contar cuántas combinaciones de 6 números se pueden obtener de un conjunto de 51; es decir: C6,51 ó 18,009,460.

Sí, con una sola plantilla, la probabilidad de ganar el primer lugar es de 1 en 18,009,460, que, redondeando la cifra equivale a: 1 en 18 millones.

Resulta también interesante calcular la probabilidad de ganar premios menores. Para esto, se debe contar cuántas planillas contienen 3, 4 ó 5 números acertados o números buenos; esto es, si se eligen 6 números, ¿cuántos de ellos serán buenos? ¿cuántos resultarán malos?  Para comprender lo antes dicho, John Haigh, profesor de matemáticas de la Universidad de Sussex, propone lo siguiente: en un supuesto dado con 4 de los 6 números buenos, existen también 2 de los 45 malos. La cantidad de planillas para ganar un premio de 4 aciertos está dado por: C4,6 x C2,45 ó, lo que es lo mismo, 14,850. Si se repite el razonamiento para el resto de los casos, se tienen los resultados que muestra el Cuadro siguiente: 

 La tabla arroja datos interesantes: en términos prácticos, la probabilidad de obtener 5 ó 6 aciertos es cero y lo más impresionante: el 86% de las planillas tienen máximo un acierto y el 98% máximo 2.
¿Existe alguna estrategia ganadora? Ninguna. Sólo recomiendo, amable lector, que siga sus corazonadas y se divierta, pues lo más probable es que la probabilidad no le ayude.

A los diecinueve años, la célebre escritora Sor Juana Inés de la Cruz, se unió a la orden de las Carmelitas Descalzas. A éstas religiosas el gusto no les duró mucho, pues tan sólo tres meses después la escritora las abandonó para formar parte del Monasterio de Santa Paula, una congregación de Religiosas Jerónimas Devotas.

Y era lógico que sucediera así pues San Jerónimo fue un gran escritor que adoraba las bibliotecas y a las mujeres; creía vehementemente que éstas no tenían porqué limitarse al hecho mundano de casarse, sino que podían y debían, dedicarse a asuntos como el estudio, la contemplación yla oración. Un tipo raro para su época.

Sor Juana, convencida de tales preceptos, demostró que se podía ser religiosa y letrada; más aún, que se podía ser mujer y además letrada. La gran sabia y poetisa, que le dio brillo a la decadente segunda mitad del siglo XVII, dejó constancia de su pensar científico en el siguiente poema: 

Veintidós es el número de Diciembre, en que el Austria dio este milagro Délfico que los Dos Orbes con su luz abrasa. Que como es la edad círculo de aquesta Imperial �?guila, sólo en la sesqui-séptima proporción tripla el círculo se hallara:pues tomando el diámetro a lo que abraza el área, vendrá a tener, midiéndolo,como con veintidós el siete se halla. 

El poema está dedicado a Doña Mariana de Austria y, aunque al lector le parezca una adivinanza o un problema de álgebra, lo que hace es exaltar el número 22, que corresponde al cumpleaños festejado por la Reina Madre.

El perímetro de un círculo está dado por P=pi*d, Donde pi=3.1416, (en realidad esta cifra es sólo una aproximación pues, según demostró Arquímedes, el número pi se encuentra entre 3 10/71 y 3 1/7).

La clave que esclarece la relación entre el número  pi y la edad de la Reina Madre radica en que 3 1/7 se puede expresar también como 22/7. La fracción 3 1/7 lingüísticamente se puede expresar como la sesqui-séptima proporción tripla, ya que sesqui es un prefijo latino que significa vez y media, así, sesqui es lo mismo que 1 ½. Por añadidura, sesquitercio es igual a 1 1/3, sesquicuarto igual a 1 1/4, y sesquiséptimo es igual a 1 1/7. Si se multiplica 1 1/7 por tres tenemos un triple sesquiséptimo o tres veces la proporción sesquiséptima o, en palabras de Sor Juana, la sesqui-séptima proporción tripla, es decir, 3 1/7, que equivale a 22/7.

La edad círculo es 22 años en virtud de que: […]tomando el diámetro/ a lo que abraza el área,/ vendrá a tener, midiéndolo,/ como con veintidós el siete se halla. Es decir, si de P=pi*d (que es el perímetro, o lo que abraza el área), quitamos el diámetro (d) siguiendo algunas reglas algebraicas elementales tenemos que: p/d=22/7.

Repase usted, amable lector, el poema a la luz de la explicación de Sor Juana y verá que lo único irracional es el número pi.